viernes, 21 de septiembre de 2012

DISTRIBUCIÓN EN EL MUESTREO

DISTRIBUCIÓN EN EL MUESTREO

Muestreo
Es un procedimiento por medio del cual se estudia una parte de la población llamada muestra, con el objetivo de inferir con respecto a toda la población. Es importante relacionar el muestreo con lo que es el censo, el cual se define como la enumeración completa de todos los elementos de la población de interés.

1.- Teoría del Muestreo
Uno de los propósitos de la estadística inferencial es estimar las características poblacionales desconocidas, examinando la información obtenida de una muestra, de una población. El punto de interés es la muestra, la cual debe ser representativa de la población objeto de estudio. Se seguirán ciertos procedimientos de selección para asegurar de que las muestras reflejen observaciones a la población de la que proceden, ya que solo se pueden hacer observaciones probabilísticas sobre una población cuando se usan muestras representativas de la misma. Una población está formada por la totalidad de las observaciones en las cuales se tiene cierto observa. Una muestra es un subconjunto de observaciones seleccionadas de una población.

Muestras Aleatorias 
Cuando nos interesa estudiar las características de poblaciones grandes, se utilizan muestras por muchas razones; una enumeración completa de la población, llamada censo, puede ser económicamente imposible, o no se cuenta con el tiempo suficiente.

A continuación se verá algunos usos del muestreo en diversos campos:
  • Política. Las muestras de las opiniones de los votantes se usan para que los candidatos midan la opinión pública y el apoyo en las elecciones.
  • Educación. Las muestras de las calificaciones de los exámenes de estudiantes se usan para determinar la eficiencia de una técnica o programa de enseñanza.
  • Industria. Muestras de los productos de una línea de ensamble sirve para controlar la calidad.
  • Medicina. Muestras de medidas de azúcar en la sangre de pacientes diabéticos prueban la eficacia de una técnica o de un fármaco nuevo.
  • Agricultura. Las muestras del maíz cosechado en una parcela proyectan en la producción los efectos de un fertilizante nuevo.
  • Gobierno. Una muestra de opiniones de los votantes se usaría para determinar los criterios del público sobre cuestiones relacionadas con el bienestar y la seguridad nacional.
2.-  Distribución Muestral de Media Aritmética
En matemáticas y estadística, la media aritmética (también llamada promedio o simplemente media) de un conjunto finito de números es el valor característico de una serie de datos cuantitativos objeto de estudio que parte del principio de la esperanza matemática o valor esperado, se obtiene a partir de la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos. Cuando el conjunto es una muestra aleatoria recibe el nombre de media muestral siendo uno de los principales estadísticos muestrales.

Las muestras aleatorias obtenidas de una población son, por naturaleza propia, impredecibles. No se esperaría que dos muestras aleatorias del mismo tamaño y tomadas de la misma población tenga la misma media muestral o que sean completamente parecidas; puede esperarse que cualquier estadístico, como la media muestral, calculado a partir de las medias en una muestra aleatoria, cambie su valor de una muestra a otra, por ello, se quiere estudiar la distribución de todos los valores posibles de un estadístico. Tales distribuciones serán muy importantes en el estudio de la estadística inferencial, porque las inferencias sobre las poblaciones se harán usando estadísticas muestrales. Como el análisis de las distribuciones asociadas con los estadísticos muestrales, podremos juzgar la confiabilidad de un estadístico muestral como un instrumento para hacer inferencias sobre un parámetro poblacional desconocido.

Como los valores de un estadístico, tal como x, varían de una muestra aleatoria a otra, se le puede considerar como una variable aleatoria con su correspondiente distribución de frecuencias. La distribución de frecuencia de un estadístico muestral se denomina distribución muestral. En general, la distribución muestral de un estadístico es la de todos sus valores posibles calculados a partir de muestras del mismo tamaño.

Suponga que se han seleccionado muestras aleatorias de tamaño 20 en una población grande. Se calcula la media muestral x para cada muestra; la colección de todas estas medias muestrales recibe el nombre de distribución muestral de medias, lo que se puede ilustrar en la siguiente figura:

Suponga que se eligen muestras aleatorias de tamaño 20, de una población grande, y se calcula la desviación estándar de cada una. La colección de todas estas desviaciones estándar muestrales se llama distribución muestral de la desviación estándar, y lo podemos ver en la siguiente figura:


Ejemplo 1
Se eligen muestras ordenadas de tamaño 2, con reemplazo, de la población de valores 0, 2, 4 y 6. Encuentre:


la media poblacional.

la desviación estándar poblacional.

la media de la distribución muestral de medias.

la desviación estándar de la distribución muestral de medias.



Además, grafique las frecuencias para la población y para la distribución muestral de medias.

Solución:
a. La media poblacional es:

b. La desviación estándar de la población es: 



       
c. A continuación se listan los elementos de la distribución muestral de la media y la correspondiente distribución de frecuencias.


La Media de la Distribución Muestral de Medias es:



d. La Desviación Estándar de la Distribución Muestral de Medias es:



De aquí que podamos deducir que: 

Como para cualquier variable aleatoria, la distribución muestral de medias tiene una media o valor esperado, una varianza y una desviación estándar, se puede demostrar que la distribución muestral de medias tiene una media igual a la media poblacional. Esto es:   


Distribuciones Muestrales
Después de haber realizado el ejercicio anterior se puede ver que una distribución muestral se genera extrayendo todas las posibles muestras del mismo tamaño de la población y calculándoles a éstas su estadístico. Si la población de la que se extraen las muestras es normal, la distribución muestral de medias será normal sin importar el tamaño de la muestra.


Si la población de donde se extraen las muestras no es normal, entonces el tamaño de la muestra debe ser mayor o igual a 30, para que la distribución muestral tenga una forma acampanada. Mientras mayor sea el tamaño de la muestra, más cerca estará la distribución muestral de ser normal.

Para muchos propósitos, la aproximación normal se considera buena si se cumple n=30. La forma de la distribución muestral de medias sea aproximadamente normal, aún en casos donde la población original es bimodal, es realmente notable.



Los símbolos usados para representar los estadísticos y los parámetros, en éste y los siguientes capítulos, son resumidos en la tabla siguiente:

Tabla 1
Símbolos para estadísticos y parámetros correspondientes.


3.- Distribución en el muestreo: Para dos Muestras
Cuando el tamaño de la muestra (n) es más pequeño que el tamaño de la población (N), dos o más muestras pueden ser extraídas de la misma población.  Un cierto estadístico puede ser calculado para cada una de las muestras posibles extraídas de la población. Una distribución del estadístico obtenida de las muestras es llamada la distribución en el muestreo del estadístico. Por ejemplo, si la muestra es de tamaño 2 y la población de tamaño 3 (elementos A, B, C), es posible extraer 3 muestras (AB, BC Y AC) de la población.  Podemos calcular la media para cada muestra.  Por lo tanto, tenemos 3 medias muéstrales para las 3 muestras.  Las 3 medias muéstrales forman una distribución.  La distribución de las medias es llamada la distribución de las medias muéstrales, o la distribución en el muestreo de la media.  De la misma manera, la distribución de las proporciones (o porcentajes) obtenida de todas las muestras posibles del mismo tamaño, extraídas de una población, es llamada la distribución en el muestreo de la proporción.

4.- DISTRIBUCIÓN CHI2 CUADRADO DE PEARSON
Si (X1,X2,...,Xn) son n variables aleatorias normales independientes de media 0 y varianza 1, la variable definida como:



Se dice que tiene una distribución CHI con n grados de libertad. Su función de densidad es:


Siendo 


la función gamma de Euler, con P>0. La función de distribución viene dada por 


La media de esta distribución es E(X)=n y su varianza V(X)=2n. Esta distribución es básica en un determinado número de pruebas no paramétricas.

Si consideramos una variable aleatoria Z~N (0,1), la variable aleatoria X=Z2 se distribuye según una ley de probabilidad distribución CHI con un grado de libertad

Si tenemos n variable aleatoria independientes Zi~N (0,1), la suma de sus cuadrados respectivos es una distribución CHI con n grados de libertad


La media y varianza de esta variable son respectivamente, E(X)=n y V(X)=2n

Ejemplo, El espesor de un semiconductor se controla mediante la variación estándar no mayor a =0.60 mm. Para mantener controlado el proceso se toman muestras aleatoriamente de tamaño de 20 unidades, y se considera que el sistema está fuera de control cuando la probabilidad de que 2 tome valor mayor o igual al valor de la muestra observado es que es 0.01. Que se puede concluir si s=0.84mm?

Solución. Existe fuera de control si
con n=20 y =0.60, excede

Entonces,







Por tanto, el sistema está fuera de control

La función de distribución CHI tienen importantes variaciones de acuerdo con los grados de libertad y del tamaño muestral (menor tamaño muestral y mayor tamaño muestral respectivamente)

En consecuencia, si tenemos X1,..,Xn, variable aleatoria independientes, donde cada

La distribución Chi muestra su importancia cuando queremos determinar la variabilidad (sin signo) de cantidades que se distribuyen en torno a un valor central siguiendo un mecanismo normal.

Teorema (Cochran). Sean X1,…,Xn con distribución N(,), la variable aleatoria independiente, entonces 



La función Chi-cuadrado es igual a la función normal elevada al cuadrado. Esto es, el producto de dos distribuciones de Gauss es una distribución de Chi-cuadrado. Si de una población normal, o aproximadamente normal, se extraen muestras aleatorias e independientes, y se le calcula el estadígrafo χ2 usando el valor muestral de la varianza y el poblacional con:

Esta función matemática está caracterizada por el valor del número de grados de libertad υ=n-1 (donde n es el tamaño muestral). Al igual que la t-Student, el valor total del área bajo la curva es igual a la unidad, pero la diferencia principal es que esta no es simétrica respecto al origen, sino que se extiende desde 0 hasta + ∞ porque no puede ser negativa.


A medida que los grados de libertad aumentan, la curva cambia de forma y sus valores se han tabulado en el anexo de tablas estadísticas, donde se muestran los valores del área bajo la curva, para los principales valores de χ2, a la derecha de éste. O sea, se muestra la zona de rechazo para diferentes niveles de significación y de grados de libertad, lo cuales varían entre 1 y 100. Más allá, conviene usar directamente la función de Gauss.

Relación con otras distribuciones. La Chi cuadrado es una distribución binomial inversa cuyo coeficiente de variabilidad es 10.1, esta tiene un intervalo de confianza de 2.3 grados en la escala de desviaciones estándar. Posee una distribución de Poisson elevada la cual asciende a 56.5 m Eq en los tres primeros cuartiles de la recta. Para k=2 la distribución es una distribución exponencial.

La prueba de Chi-cuadrado es una prueba no paramétrica que mide la discrepancia entre una distribución observada y otra teórica (bondad de ajuste), indicando en qué medida las diferencias existentes entre ambas, de haberlas, se deben al azar. También se utiliza para probar la independencia de dos muestras entre sí, mediante la presentación de los datos en tablas de contingencia. La fórmula que da el estadístico es la siguiente:

Los grados de libertad nos vienen dados por: gl= (r-1)(k-1). Donde r es el número de filas y k el de columnas.

Criterio de decisión: Se acepta H0 cuando
En caso contrario se rechaza. Donde representa el valor proporcionado por las tablas, según el nivel de significación elegido. Cuanto más se aproxima a cero el valor de Chi-cuadrado, más ajustadas están ambas distribuciones.


DISTRIBUCION JI-CUADRADA (X2)


En realidad la distribución ji-cuadrada es la distribución muestral de s2. O sea que si se extraen todas las muestras posibles de una población normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendrá la distribución muestral de varianzas. Para estimar la varianza poblacional o la desviación estándar, se necesita conocer el estadístico X2. Si se elige una muestra de tamaño n de una población normal con varianza 


el estadístico:

Tiene una distribución muestral que es una distribución ji-cuadrada con gl=n-1 grados de libertad y se denota X2 (X es la minúscula de la letra griega ji). El estadístico ji-cuadrada está dado por:
Donde n es el tamaño de la muestra, s2 la varianza muestral y 


la varianza de la población de donde se extrajo la muestra. El estadístico ji-cuadrada también se puede dar con la siguiente expresión:

Propiedades de las distribuciones ji-cuadrada
  1. Los valores de X2 son mayores o iguales que 0.
  2. La forma de una distribución X2 depende del gl=n-1. En consecuencia, hay un número infinito de distribuciones X2.
  3. El área bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1.
  4. Las distribuciones X2 no son simétricas. Tienen colas estrechas que se extienden a la derecha; esto es, están sesgadas a la derecha.
  5. Cuando n>2, la media de una distribución X2 es n-1 y la varianza es 2(n-1).
  6. El valor modal de una distribución X2 se da en el valor (n-3)
La siguiente figura ilustra tres distribuciones X2. Note que el valor modal aparece en el valor (n-3) = (gl-2).



La función de densidad de la distribución X2 esta dada por:


La tabla que se utilizará para estos apuntes es la del libro de probabilidad y estadística de Walpole, la cual da valores críticos 


(gl) para veinte valores especiales de 
Para denotar el valor crítico de una distribución X2 con gl grados de libertad se usa el símbolo 

(gl); este valor crítico determina a su derecha un área de 

bajo la curva X2 y sobre el eje horizontal. Por ejemplo para encontrar X20.05(6) en la tabla se localiza 6 gl en el lado izquierdo y 

a o largo del lado superior de la misma tabla.




DISTRIBUCIÓN t-STUDENT

Si (X,X1,X2,...,Xn) son n+1 variables aleatorias normales independientes de media 0 y varianza 2, la variable 

Tiene una distribución t-Student con n grados de libertad. Su función de densidad es 

Siendo





La función gamma de Euler con P>0. La media de la distribución t-Student es E(X)=0 y su varianza V(X)=n/(n-2), la cual no existe para grados de libertad menores que 2.

Esta distribución aparece en algunos contrastes del análisis normal.

La distribución t-Student se construye como un cociente entre una normal Z~N(0,1) y la raíz de una Chi X2n independientes. De modo preciso, llamamos distribución t-Student con n grados de libertad, tn a la de una variable aleatoria T,
Para calcular
Sea un estadígrafo t calculado para la media con la relación

Ejemplo, En 16 recorridos de prueba de una hora cada uno, el consumo de gasolina de un motor es de 16.4 gal, con una desviación estándar de 2.1 gal. Demuestre que la afirmación que el consumo promedio de gasolina  de este motor es 12.0 gal/hora

Solución, Sustituyendo n=16, =12.0, =16.4 y s=2.1 en la fórmula de t-Student, se tiene
Para el cual en las tablas, para =5% y 15 gl es insignificante, y por tanto se puede concluir que el consumo de 12 gal/h es real

Ejemplo, Encuentre los valores de la función para:
a.    14 gl, =97.5%→t0.975=-t2.5%=-2.145
b.    P(-t0.025<T<t0.05)=0.925


DISTRIBUCIÓN F SNEDECOR O F-FISHER

Si U y V son dos variables aleatorias independientes que tienen distribución Chi Cuadrada con n1 y n2 grados de libertad, respectivamente, entonces, la variable aleatoria



Que es la llamada función de distribución F-Snedecor o F-Fisher con n1 y n2 grados de libertad. Ejemplo, Un valor de f con 6 y 10 grados de libertad para un área de 0.95 a la derecha es,
f0.95,6,10=1/(f0.05,10,6)=1/4.06=0.246

Si de dos poblaciones normales, o aproximadamente normales, se extraen dos muestras aleatorias e independientes, y a cada una se le calcula su respectiva varianza, el cociente de ambos valores 

(con F>1, esto es, siempre se coloca el más grande como numerador) tendrá una distribución de Fisher, cuyos valores críticos fueron obtenidos por W. Snedecor en una tabla que se caracteriza por tener dos grados de libertad: el correspondiente al numerador υ1=n1-1 y el del denominador υ2=n2-1. Programas de computación permiten calcular los valores críticos respectivos.

En las Tablas se presenta una hoja para cada nivel de confianza, se eligen los más apropiados como: 95%; 97,5%; 99%; 99,5% y 99,9%. Como siempre, el área total bajo la curva es la unidad y se extiende desde 0 a + ∞. La forma es muy parecida a la Chi-cuadrado. Se muestran tres casos, con diferentes grados de libertad, y se marca el valor de  F=2,5 con una, línea punteada vertical.

El principal uso de esta función es el Análisis de Varianza, que se verá más adelante, y es para cuando se necesita comparar más de dos medias muéstrales a la vez. En estos casos la idea es detectar si el efecto de uno o más tratamientos afecta a las muestras testeadas. En cambio, cuando se tiene el caso de dos muestras, la idea es testear si hay homocedasticidad en las dos poblaciones en estudio. Una vez verificado este supuesto, se puede avanzar más verificando si hay diferencia entre las medias muéstrales, y así verificar si ambas muestras tienen igual media y varianza, porque eso significa que en realidad provienen de la misma población normal. Eso probaría que no hay efecto de un tratamiento si se lo compara con un placebo, o que dos técnicas de laboratorio son equivalentes.

Si el experimento no verifica esto, entonces se deberá elegir el caso que presente menor varianza, para tener menor variabilidad en las mediciones. En Genética se puede verificar si una generación de crías es más variable en un carácter que la de sus padres. En Sistemática se puede testear si dos poblaciones locales tienen la misma variabilidad. En Bioquímica y Farmacia el uso más frecuente es comparar el error casual de mediciones de laboratorio, al introducir algún efecto o cambiar el método de medición. En el caso de testear si dos técnicas de laboratorio tienen igual dispersión, o bien, para elegir aquella con mayor precisión, conviene pensar el problema como la incidencia de un factor en estudio en lugar de dos técnicas totalmente diferentes entre sí. Por ejemplo, se trata de una misma práctica, pero se usan dos espectrofotómetros diferentes, y se trata de determinar si la modificación de la varianza se debe al uso de un aparato diferente. El factor acá sería: tipo de espectros.

También se puede estudiar la incidencia del factor humano, realizando las mismas mediciones a dos personas diferentes. De esa forma se puede imaginar que las dos muestras provienen de diferentes poblaciones, o que el efecto del factor analizado no es despreciable cuando se rechaza la hipótesis nula. En la figura se muestra el caso de dos poblaciones. En el caso (a) ambas poblaciones tienen la misma media, pero por efecto del error casual sus varianzas son diferentes. Si esta diferencia es significativa, resulta evidenciada por el Modelo de Fisher que permite la comparación de ambas.



En el caso (b) hay un error sistemático que desplaza la media, pero sus varianzas permanecen iguales. Es lo mismo que sumar una constante a todos los valores; ocurre un desplazamiento hacia la derecha. t-Student se usa para detectar esto cuando se hace el test de comparación de dos medias independientes. Como se verá más adelante, se puede construir todo un bagaje de métodos para efectuar un Control de Calidad interno en un laboratorio de medición clínica. Por ahora, basta decir que se puede controlar la exactitud con los modelos de t-Student y la precisión con los de Chi-cuadrado y Fisher.

Con esto se pueden comenzar a controlar y calibrar los sistemas de medición. Las limitaciones de todo esto son dos: la primera es que se puede estudiar el efecto del factor analizado en solo dos muestras y no en más de dos. La segunda es que si la calidad se entiende como exactitud y precisión, solo se pueden emplear estos modelos para magnitudes de tipo cuantitativas como las de la Química Clínica, pero no en magnitudes cualitativas como las usuales en Microbiología, Bacteriología, Micología, etc. En magnitudes cuantitativas, por calidad se entiende precisión y exactitud, en lugar de la capacidad de una prueba clínica para diagnosticar. Sin embargo, a pesar de estas limitaciones sigue siendo una herramienta sencilla y poderosa de control.

Para poder aplicar este modelo se deben tener en cuenta los requisitos siguientes:
  • Las muestras fueron extraídas de una población normal o aproximadamente normal.
  • La selección de las muestras se hizo en forma aleatoria.
  • Las muestras son independientes entre sí.



















6 comentarios:

  1. Que buena información, muy completa; Gracias...

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  2. Gracias a Dios hemos terminado este trabajo!! :D

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  3. Que gran trabajo de Estadística hemos realizado...

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  4. Que buena información, muy completa; Gracias a Dios...

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  5. Como sufrimos, pero al fin terminamos nuestro blog

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